等式成立
本节总结了伴随矩阵的基本定义和性质，这是我们在考研中容易忽略的一部分内容。希望大家关注一下！！！
定义1。设定义A的伴随矩阵A*为:
等式成立
其中是的代数余因子。
定理1。M× N矩阵A的秩为R的充要条件是存在M阶满秩矩阵P和N阶满秩矩阵Q使得
其中er是r阶单位矩阵.
定理2。
若A可逆，由此可得如果a是可逆的，就可以由此得到
1.(2017汕头大学)
证明:(1)当，有。
(2)当|AB|=0时，那么X有无穷多个值，使得它们都是可逆的，所以有
上面两边矩阵的元素都是X的多项式，X有无穷多个值使得等式成立。因此，等式成立。所以当x=0时，结论成立。
2.设A是一个n阶方阵，那么
k是一个特殊的数字，
证明如果kA是可逆的，那么
如果kA是不可逆的，B=kA+tE，那么T有无穷多个值使B可逆，所以有
对于t的无穷多个值，方程两边矩阵对应位置的元素都是关于t的多项式，这样上式成立，可以得出t=0。
证明如果A可逆，它也可逆，所以
如果a是不可逆的，那么有无穷多个值使它可逆，因此
上式两边矩阵的元素都是T的多项式，T有无穷多个值使得等式成立，所以方程成立，所以当t=0时，可以得出结论。4.(扬州大学，1999)设A是N阶矩阵，则有
证明: 当 r(A)=n 时, 由 取行列式可得证明了当r(A)=n时，可以通过取行列式得到。
因此
当a具有至少一个不为0的n-1子公式时，即
因为这个时候，有
因此
因此
当...的时候
A的任意n -1行都是线性相关的，所以A的任意n-1个子式都是0，所以
因此
5.(重庆大学，2004)设A为n阶矩阵，求证:
证明了如果A是可逆的，则存在一个关系。
同时取两边的行列式，就可以得到
以便可以使用
若A不可逆，即|A|=0，则有可逆矩阵P，Q，所以
其中r < n。
我们注意到:如果，那么如果。
无论哪种情况，我们都有。
因此
在上面的公式中
是可逆矩阵，所以
它仍然有效。
颜保提示:当本题矩阵A不可逆时，也可以用第三性质的证明方法。请你自己试试。6.设A为n(n>2)阶矩阵，以验证:
证明如果A是可逆的，那么
如果A是不可逆的，即|A|=0，则
因此
7.n阶矩阵A的伴随矩阵是A的多项式，证明了:(1)当r(A)=n时，设A的特征多项式为
规则
因此
但是
由此结论成立。
当r(A)使k=0时。
举例。已知的
求a。
解:可以求出计算的行列式。
因为
明白了。
如果|A|=2，则由
得到
因此
如果|A|=-2，那么
因此
1.(2018西安电子科技大学)设A为N阶实非零矩阵，且
其中是行列式|A|中元素的代数余因子，证明了A是可逆并的。
2.(2012河南师范大学)
